Question

已知函数f(x)=

4x

4x+2

．
（Ⅰ）求f（x）+f（1-x），x∈R的值；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{b_n}满足b_n=2ⁿ⁺¹a_n，S_n是数列{b_n}的前n项和，是否存在正实数k，使不等式knS_n＞4b_n对于一切的n∈N^*恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在f(x)=

4x

4x+2

中以1-x代x，即得f（1-x），再利用指数幂的运算法则计算化简即可．
（Ⅱ）利用倒序相加的方法a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）①a_n=f（1）+f（

n-1

n

）+f（

n-2

n

）+…+f（

1

n

）+f（0）②，①②相加，结合（Ⅰ）的结论，可求得an=

n+1

2

（Ⅲ）根据求得的b_n=2ⁿ⁺¹•a_n=（n+1）•2ⁿ，应用错位相消法可求出S_n=n•2ⁿ⁺¹，不等式knS_n＞4b_n对于一切的n∈N^*恒成立即为kn²-2n-2＞0?对于一切的n∈N^*恒成立
法一：?式分离参数k，得k＞

2n+2

n2

对于一切的n∈N^*恒成立，转化为求f（n）=

2n+2

n2

的最大值．
法二：?式首先对n=1成立时，得出k＞4，再由k＞4时g（n）=kn²-2n-2＞0即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）+f（1-x）=

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x

4x+2

+

4

4x+2

+

4

4+2•4x

=1
（Ⅱ）∵a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）①
∴a_n=f（1）+f（

n-1

n

）+f（

n-2

n

）+…+f（

1

n

）+f（0）②
由（Ⅰ）知，f（x）+f（1-x）=1
①②相加得2a_n=（n+1），∴an=

n+1

2

（Ⅲ）b_n=2ⁿ⁺¹•a_n=（n+1）•2ⁿ，
∴S_n=2•2¹+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ  ③
2S_n=2•2²+3•2³+4•2³+…n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹ ④
③-④得-S_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹，所以S_n=n•2ⁿ⁺¹
使不等式knS_n＞4b_n对于一切的n∈N^*恒成立，即kn²-2n-2＞0⑤对于一切的n∈N^*恒成立
法一：由⑤可得k＞

2n+2

n2

对于一切的n∈N^*恒成立，
令f（n）=

2n+2

n2

=

2(n+1)

(n+1)2-2(n+1)+1

=

2

(n+1)+ 1 n+1 -2

∵（n+1）+

1

n+1

在n∈N^*上是单调递增的，∴n+1）+

1

n+1

的最小值为2+

1

2

=

5

2

，所以f（n）max=

2

5 2 -2

=4，所以k＞4
法二：对于⑤式，当n=1时，k-2-2＞0成立，即k＞4，
设g（n）=kn²-2n-2，当k＞4时，由于对称轴n=

1

k

＜1，且g（1）=k-2-2＞0，而函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，所以不等式knS_n＞4b_n恒成立，即当k＞4时，不等式knS_n＞4b_n对于一切的n∈N^*恒成立

点评：本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．解题时要注意倒序相加法、错位相减法的灵活运用．