Question

已知{a_n}是首项为2，公比为

1

2

的等比数列，S_n为它的前n项和．
（1）用S_n表示S_n+1；
（2）是否存在自然数c和k，使得

Sk+1-c

Sk-c

＞2成立．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的前n项和公式分别表示出s_n与s_n+1，对比找出其关系即可；
（2）假设存在自然数c和k，利用（1）的结论及s_k的范围，推出c的可能取值，然后逐一验证即可．

解答：解（1）由Sn=4(1-

1

2n

)，得Sn+1=4(1-

1

2n+1

)=

1

2

Sn+2(n∈N)．
（2）要使

Sk+1-c

Sk-c

＞2，只要

c-( 3 2 Sk-2)

c-Sk

＜0．
因为Sk=4(1-

1

2k

)＜4，所以Sk-(

3

2

Sk-2)=2-

1

2

Sk＞0(k∈N)，
故只要

3

2

Sk-2＜c＜Sk(k∈N)．①
因为S_k+1＞S_k（k∈N），所以

3

2

Sk-2≥

3

2

S1-2=1，
又S_k＜4，故要使①成立，c只能取2或3．
当c=2时，因为S₁=2，所以当k=1时，c＜S_k不成立，从而①不成立．
因为

3

2

S2-2=

5

2

＞c，由S_k＜S_k+1（k∈N），得

3

2

Sk-2＜

3

2

Sk+1-2，所以当k≥2时，

3

2

Sk-2＞c，从而①不成立．
当c=3时，因为S₁=2，S₂=3，
所以当k=1，2时，c＜S_k不成立，从而①不成立．
因为

3

2

S3-2=

13

4

＞c，又

3

2

Sk-2＜

3

2

Sk+1-2，
所以当k≥3时，

3

2

Sk-2＞c，从而①不成立．
故不存在自然数c、k，使

Sk+1-c

Sk-c

＞2成立．

点评：本题考查了等比数列的前n项和公式以及不等式的有关知识，利用了极限思想及分类讨论的数学思想，综合性和逻辑推理性较强，难度较大．