Question

（1）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））=4x-1，求f（x）的解析式；
（2）求函数y=5-x+

3x-1

的值域．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=kx+b （k≠0），则f（f（x））=k（kx+b）+b，由f（f（x））=4x-1，比较系数求得k、b的值，即可求得函数的解析式．
（2）令

3x-1

=t，t≥0，则y=-

1

3

(t-

3

2

)2+

65

12

，利用二次函数的性质求得函数 y的值域．

解答：解：（1）∵已知f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b （k≠0），则f（f（x））=k（kx+b）+b，
∴由f（f（x））=4x-1 可得 k（kx+b）+b=4x-1，即 k²x+kb+b=4x-1，∴k²=4，且 kb+b=-1．
解得 k=-2，b=1，或者  k=2，b=-

1

3

，
故f（x）的解析式为 f（x）=-2x+1，或 f（x）=2x-

1

3

．
（2）由函数y=5-x+

3x-1

 可得 x≥

1

3

．
令

3x-1

=t，t≥0，则y=5-

t2+1

3

+t=-

1

3

(t-

3

2

)2+

65

12

，
故当t=

3

2

时，函数 y取得最大值为

65

12

，且函数没有最小值，
故函数的值域为（-∞，

65

12

]．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，用换元法求函数的值域，二次函数的性质应用，属于中档题．