题目内容

设 $数学公式$ ，求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同．

解：（1）若a=0，则对于每个正数b， $\text{[math]}$ 的定义域和值域都是[0，+∞）
故a=0满足条件--------------（4分）
（2）若a＞0，则对于正数b， $\text{[math]}$ 的定义域为D= $\text{[math]}$ ，
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，即a＞0不合条件；-----------（4分）
（3）若a＜0，则对正数b，定义域 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
f（x）的值域为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ --（5分）
综上所述：a的值为0或-4----------（1分）
分析：由于函数解析式中，被开方式是一个类一元二次式，故我们可分a=0，a＞0和a＜0，三种情况，分别分析是否存在正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同，进而综合讨论结果，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，函数的值域，二次函数的图象和性质，其中熟练掌握一次函数和二次函数的图象和性质是解答本题的关键，解答中易忽略a=0时，也满足条件，而错解为a=-4