题目内容
若不等式
+
+
+…+
>
对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论.
解法一：当n=1时，+>，
即> ，
∴a<26.又a∈N*，
∴a的最大值应为25.下面用数学归纳法证明
+
+…+
>
.
（1）n=1时，已证.
（2）假设n=k时，
+
+…+
>
成立.
当n=k+1时，有
+
+…+
+
+
+
=（
+
+…+
）+（
+
+
－
）>
+［
+
－
］.
∵
+
=
>
，
∴
+ 
－
>0.
∴
+
+…+
>
也成立.
由（1）（2）可知，对一切n∈N*，都有
+
+…+
> 
.
∴a的最大值为25.
解法二：令f（n）=
+
+…+
.
∵f（n）－f（n+1）=
－
－
－
=
－
=
<0，
∴f（n）<f（n+1），
即f（n）是增数列.
∴f（n）≥f（1）=
+
+
=
.
又f（n）>
恒成立，
∴
> 
，即a<26.
∴正整数a的最大值为25.
点评：解法二使用了函数思想，利用了函数的单调性，使得证明更简洁.
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定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1-λ）b∈[a，b]，已知向量
=λ
+(1-λ)
，若不等式|
|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y=x-
在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（ ）
| ON |
| OA |
| OB |
| MN |
| 1 |
| x |
| A、[0，+∞） | ||||
B、[
| ||||
C、[
| ||||
D、[
|