题目内容

已知函数g（x）=2sin（3x-
π
4
）+1，当x∈[0，
π
3
]时方程g（x）=m恰有两个不同的实根x1，x2，则x1+x2=（　　）
A、
π
3
B、
π
2
C、π
D、2π
分析：利用换元法将函数转化为标准的正弦函数，利用方程有两个不同的实根，结合正弦函数的图象即可得到结论．
解答：解：设t=3x-
π
4
，
当x∈[0，
π
3
]时，t∈[-
π
4
，
3π
4
]，
作出y=2sint+1的图象如图：要使方程g（x）=m恰有两个不同的实根x1，x2，
则对应y=2sint+1有两个本题的实根t1，t2，
且t1，t2关于t=
π
2
对称，
即t1+t2=π，精英家教网
即3x1-
π
4
+3x2-
π
4
=π，
∴3（x1+x2）=
3π
2
，
即x1+x2=
π
2
，
故选：B．
点评：本题主要考查方程根的应用，利用换元法将函数转化为标准的三角函数，利用数形结合是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数g（x）=
3
4
-
1
2
sinxcos-
3
2
sin2x的图象按向量
m
=（-
π
4
，
1
2
）平移得到函数f（x）=acos2（x+
π
3
）+b的图象．
（1）求实数a、b的值；
（2）设函数φ（x）=g（x）-
3
f（x），x∈[0，
π
2
]，求函数φ（x）的单调递增区间和最值．
已知函数g（x）=
x
+1，h（x）=
1
x+3
，x∈（-3，a]，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；
（2）当a=
1
4
时，求函数f（x）的最值．
若函数f（x）对定义域中任意x，均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称；
（1）已知f(x)=
x2-mx+1x
的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；
（2）已知函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=-2x-n（x-1），求函数g（x）在x∈（-∞，0）上的解析式；
（3）在（1）（2）的条件下，若对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）+tf（t）＞0，求正实数n的取值范围．
（2012•邯郸一模）已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）=-ln（1-x），函数f(x)=
x3
 (x≤0)
g
 (x＞0)，
若f（2-x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（　　）
对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
已知函数g（x）=x2与h（x）=a•2x-1是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数m，使方程g（2x-1）+h（x）=m恰有两解？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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