题目内容
因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm（即EF=50cm）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜．根据经验，一般顾客AB的眼睛B到地面的距离x（cm）在区间[140，180]内．设支架FG高为h（0＜h＜90）cm，AG=100cm，顾客可视的镜像范围为CD（如图所示），记CD的长度为y（y=GD-GC）．（1）当h=40cm时，试求y关于x的函数关系式和y的最大值；
（2）当顾客的鞋A在镜中的像A1满足不等关系GC＜GA1≤GD（不计鞋长）时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求h的取值范围．
【答案】分析：（1）根据三角形的相似，求出GC，GD的长，从而可构建函数，求导数，确定函数的单调性，即可求得结论；
（2）根据三角形的相似，求出GC，GD的长，由题意知GC＜A1G=AG≤GD，即
对x∈[140，180]恒成立，从而
对x∈[140，180]恒成立，由此可求h的取值范围．
解答：解：（1）因为FG=40，AG=100，所以由
，即
，解得
，
同理，由
，即
，解得
所以
因为
，所以y在[140，180]上单调递减，
故当x=140cm时，y取得最大值为140cm
（2）由
，得
，
由
，得
，
所以由题意知GC＜A1G=AG≤GD，即
对x∈[140，180]恒成立
从而
对x∈[140，180]恒成立，∴40≤h＜70，
∴h的取值范围为[40，70）．
点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查恒成立问题，解题的关键是构建函数模型．
（2）根据三角形的相似，求出GC，GD的长，由题意知GC＜A1G=AG≤GD，即
对x∈[140，180]恒成立，从而对x∈[140，180]恒成立，由此可求h的取值范围．解答：解：（1）因为FG=40，AG=100，所以由
，即，解得，同理，由
，即，解得所以
因为
，所以y在[140，180]上单调递减，故当x=140cm时，y取得最大值为140cm
（2）由
，得，由
，得，所以由题意知GC＜A1G=AG≤GD，即
对x∈[140，180]恒成立从而
对x∈[140，180]恒成立，∴40≤h＜70，∴h的取值范围为[40，70）．
点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查恒成立问题，解题的关键是构建函数模型．
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