Question

已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x）＞0的解集是（0，4），且f（x）在区间[-1，5]上的最大值是12，则f（x）的解析式为     ．

Answer 1

【答案】分析：由已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x）＞0的解集是（0，4），可得到函数图象开口向下，且x=0，与x=4是其两个零点，由f（x）在区间[-1，5]上的最大值是12，知函数的顶点坐标是（2，12），故可用待定系数法设出它的顶点式方程，再代入相应点求参数．
解答：解：∵函数f（x）是二次函数，不等式f（x）＞0的解集是（0，4），且f（x）在区间[-1，5]上的最大值是12，
∴二次函数图象开口向下，且其顶点坐标是（2，12），且x=0，与x=4是其两个零点，
 故可设f（x）=a（x-2）²+12
 将点（0，0） 代入得0=4a+12，解得a=-3
故函数f（x））=-3（x-2）²+12
故答案为f（x））=-3（x-2）²+12．
点评：本题考点是函数的最值及其几何意义，考查用根据最值与函数的相关特征是待定系数法设出函数解析式，再根据已知条件求参数，二次函数的解析式的设法有三种，依次为顶点式，两根式，一般式，本题采用了顶点式．