Question

记事件A=“直线ax-by=0与圆（x-2）²+y²=1相交”．
（Ⅰ）若将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a、b，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）若实数a、b满足(a-2)2+(b-

3

)2＜1，求事件A发生的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得：故b＞

3

a，可列举得到方法种数，进而可得所要求的概率；
（Ⅱ）首先确定为几何概型，然后分别求两个面积可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：直线ax-by=0与圆（x-2）²+y²=1相交，
所以圆心（2，0）到直线的距离d=

|2a|

a2+b2

＜1，即3a²＜b²，
又a、b均大于0，故b＞

3

a，
当a=1时，b=2，3，4，5，6；当a=2时，b=4，5，6；当a=3时，b=6，
故事件A发生的方法种数为9，而总的方法种数为6×6=36
故事件A发生的概率为P=

9

36

=

1

4

（Ⅱ）依题意为几何概型，b＞

3

a与(a-2)2+(b-

3

)2＜1的公共面积为
直线b=

3

a与圆(a-2)2+(b-

3

)2=1相交的弓形的面积，由点到直线的距离公式可得：
圆心到直线的距离d′=

|2 3 - 3 |

2

=

3

2

，故扇形的中心角为

π

3

，
则弓形的面积S=

1

6

π1²-

3

4

12=

2π-3 3

12

，
故所求的概率为：

2π-3 3 12

π

=

2π-3 3

12π

点评：本题考查古典型和几何概型，分清两种概型是解决问题的关键，属基础题．