题目内容

（文科）已知n²（n≥4且n∈N）个正数排成一个n行n列的数阵：
　　　　　第1列　第2列　　第3列　 …第n列
第1行　　 a_1，1a_1，2a_1，3…a_1，n
第2行　　 a_2，1a_2，2a_2，3…a_2，n
第3行　　 a_3，1a_3，2a_3，3…a_3，n
…
第n行　　 a_n，1a_n，2a_n，3…a_n，n
其中a_i，k（i，k∈N，且1≤i≤n，1≤k≤n）表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵中各行的数依次成等比数列，各列的数依次成公比为2的等比数列，已知a_2，3=8，a_3，4=20．
（1）求a_1，1a_2，2；
（2）设A_n=a_1，n+a_2，n-1+a_3，n-2+…+a_n，1求证：A_n+n能被3整除．

解：（1）由题意，a_2，3=8，
a_3，4=20，
所以a_1，3=3，a_1，4=5，
故第1行公差d=1，
所以a_1，1=2，a_1，2=3，
得a_2，2=2a_1，2=6．
（2）同（1）可得，a_1，n=n+1，a_2，n-1=2n，a_3，n-2=2²（n-1），…，a_n-1，2=3×2^n-2，a_n，1=2×2^n-1
所以A_n=a_1，n+a_2，n-1+a_3，n-2+…+a_n，1=（n+1）+n×2¹+（n-1）×2²+（n-2）×2³+…+2×2^n-12A_n=（n+1）×2¹+n×2²+（n-1）×2³+…+3×2^n-1+2×2ⁿ两式相减，得A_n=-（n+1）+2¹+2²+2³+…+2^n-1+2×2ⁿ= $\text{[math]}$
=-（n+1）+2ⁿ-2+2×2ⁿ=3×2ⁿ-3-n
所以A_n-n=3×（2ⁿ-1），
故A_n+n能被3整除．
分析：（1）由题意，a_2，3=8，a_3，4=20，所以a_1，3=3，a_1，4=5，故第1行公差d=1，由此能求出a_1，1和a_2，2．
（2）由a_1，n=n+1，a_2，n-1=2n，a_3，n-2=2²（n-1），…，a_n-1，2=3×2^n-2，a_n，1=2×2^n-1，知A_n=a_1，n+a_2，n-1+a_3，n-2+…+a_n，1=（n+1）+n×2¹+（n-1）×2²+（n-2）×2³+…+2×2^n-1，由错位相减法能够求出A_n．由此能够证明A_n+n能被3整除．
点评：本题考查数列的综合运用，综合性强，难度较大，容易出错．解题时要认真审题，注意寻找规律，合理地进行等价转化．