题目内容
已知函数
.
（1）若
的极小值为1，求a的值.
（2）若对任意
，都有
成立，求a的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
试题分析：（1）先求导，利用导数的性质求出存在极小值的条件，然后求解即可；（2）利用导数的求出函数的单调性，然后在求出函数在
上的极小值，可得极小值大于等于1，解之即可.
试题解析：（1）因为
，所以
当a≤0时，
，所以
在定义域（0，+∞上单调递减，不存在极小值；
当a>0时，令
，可得
，当
时，有
， 单调递减；当
时，由
， 单调递增，
所以是函数的极小值点，故函数的极小值为
，解得.
（2）由（1）可知，当a≤0时，在定义域（0，+∞上单调递减，且在x=0附近趋于正无穷大，而
，由零点存在定理可知函数在（0,1]内存在一个零点，
不恒成立；
当a>0时，若恒成立，则
，即a≥1，
结合（1）a≥1时，函数在（0,1]内先减后增，要使恒成立，则的极小值大于或等于1成立，所以
即
，可得
，综上可得.
考点：1.求函数的导数和利用导数求函数的单调性；（2）利用导数由不等式恒成立问题求出参数.
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
+
的定义域是（ ）
| 1-x2 |
| x2-1 |
| A、[-1，1] |
| B、{-1，1} |
| C、（-1，1） |
| D、（-∞，-1]∪[1，+∞） |