已知椭圆C1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.它的焦点与抛物线C2:x2=4y的焦点间的距离为2．(1)求椭圆C1的方程,(2)设C1与C2在第一象限的交点为A.过A斜率为k的直线l1与C1的另一个交点为B.过点A与l1垂直的直线l2与C2的另一个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，它的焦点与抛物线C₂：x²=4y的焦点间的距离为2．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设C₁与C₂在第一象限的交点为A，过A斜率为k（k＞0）的直线l₁与C₁的另一个交点为B，过点A与l₁垂直的直线l₂与C₂的另一个交点为C，设m=$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}$，试求m的取值范围．

分析（1）由离心率公式和焦点坐标可得c，a，再由椭圆的a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）设出直线AB的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得|AB|，再设直线AC的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AC|，再求m的范围，即可得到．

解答解：（1）由题意可得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
抛物线C₂：x²=4y的焦点为（0，1），
椭圆的焦点为（±c，0），
即有$\sqrt{1+{c}^{2}}$=2，解得c=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{6}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）联立椭圆方程和抛物线方程，解得A（2，1），
由题意得直线AB的方程为y-1=k（x-2），联立椭圆方程消去y，
得（2k²+1）x²+4k（1-2k）x+2（1-2k）²-6=0，
则x_Ax_B=$\frac{2（1-2k）^{2}-6}{1+2{k}^{2}}$，x_A+x_B=-$\frac{4k（1-2k）}{1+2{k}^{2}}$，
∵x_A=2，∴x_B=$\frac{2（2{k}^{2}-2k-1）}{1+2{k}^{2}}$，
即有|AB|²=（1+k²）|x_A-x_B|=（1+k²）•$\frac{4k+4}{1+2{k}^{2}}$，
直线AC的方程为y-1=-$\frac{1}{k}$（x-2），联立抛物线方程，消去y，得x²+$\frac{4}{k}$x-4-$\frac{8}{k}$=0，
∴x_Ax_C=-4-$\frac{8}{k}$，x_A+x_C=-$\frac{4}{k}$，
∵x_A=2，∴x_C=-$\frac{2（k+2）}{k}$，
即有|AC|²=（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）|x_A-x_C|=（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）•$\frac{4k+4}{k}$，
则有m²=$\frac{|AB{|}^{2}}{|AC{|}^{2}}$=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{4}{2+\frac{1}{{k}^{2}}}$＜2，
即有0＜m＜$\sqrt{2}$．
则m的取值范围是（0，$\sqrt{2}$）．

点评本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和焦点坐标，同时考查直线方程和椭圆方程，抛物线方程联立，运用韦达定理，以及弦长公式，注意化简整理，属于中档题．

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6．命题P：“?x∈R，x²+1＜2x”的否定￢P为（　　）

2．定义集合A={x|x=$\frac{m}{3}+\frac{n}{2}$，m，n∈Z}，B={y|y=6x，x∈A}，则下列说法判断正确的是（　　）

	A．	若x∈A且x∈（0，1），则x的最大值为$\frac{2}{3}$		B．	若集合C为偶数集，则B∪C=C
	C．	若x∈A，则x∈B		D．	若x∈B，则x∈A