题目内容

已知向量
a
=（x2，x+1），
b
=（1-x，t），若函数f（x）=
a
•
b
在区间（-1，1）上是增函数，则实数t的取值范围是（　　）
A．[5，+∞）B．（5，+∞）C．（-∞，5]D．（-∞，5）
依定义f（x）=x2（1-x）+t（x+1）=-x3+x2+tx+t，
则f′（x）=-3x2+2x+t．
若f（x）在（-1，1）上是增函数，
则在（-1，1）上f'（x）≥0恒成立．
∴f′（x）≥0?t≥3x2-2x，
在区间（-1，1）上恒成立，
考虑函数g（x）=3x2-2x，
由于g（x）的图象是对称轴为x=
1
3
，开口向上的抛物线，
故要使t≥3x2-2x在区间（-1，1）上恒成立?t≥g（-1），
即t≥5．
而当t≥5时，f′（x）在（-1，1）上满足f′（x）＞0，
即f（x）在（-1，1）上是增函数；
故t的取值范围是t≥5．
故选A．
练习册系列答案
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已知向量
a
=（x2，x+1），
b
=（1-x，t），若函数f（x）=
a
•
b
在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围．
已知向量
a
=(ex+
x
2
，-x)，
b
=(1，t)，若函数f(x)=
a
•
b
在区间（-1，1）上存在单调递增区间，则t的取值范围是
（-∞，e+
1
2
）
（-∞，e+
1
2
）
．
已知向量
a
=（x2-1，-1），
b
=（x，y），当|x|＜
2
时，有
a
⊥
b
；当|x|≥
2
时，
a
∥
b
．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（3）若对|x|≥
2
，都有f（x）≤m，求实数m的最小值．
已知向量
a
=(sin(
x
2
+
π
12
)，  cos
x
2
)，
b
=(cos(
x
2
+
π
12
)，  -cos
x
2
)，x∈[
π
2
，  π]，函数f（x）=
a
•
b
．
（1）若cosx=-
3
5
，求函数f（x）的值；
（2）若函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，且x0∈（-2，-1），求x0的值．
（2011•东城区模拟）已知向量
a
=（x2，x+1），
b
=（1-x，t），若函数f（x）=
a
•
b
在区间（-1，1）上是增函数，则实数t的取值范围是（　　）

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