题目内容

在△ABC中,D为AB上任一点,h为AB边上的高,△ADC、△BDC、△ABC的内切圆半径分别为r1,r2,r,则有如下的等式恒成立:
AC
r1
+
BD
r2
=
AB
r
+
2CD
h
,三棱锥P-ABC中D位AB上任一点,h为过点P的三棱锥的高,三棱锥P-ADC、P-BDC、P-ABC的内切球的半径分别为r1,r2,r,请类比平面三角形中的结论,写出类似的一个恒等式为
S△ADC
r1
+
S△BCD
r2
=
S△ABC
r
+
2S△PDC
h
S△ADC
r1
+
S△BCD
r2
=
S△ABC
r
+
2S△PDC
h
分析:本题是根据三角形类比三棱锥,二维是线段,三维应该是面积,故把等式
AC
r1
+
BD
r2
=
AB
r
+
2CD
h
中的线段替换成相对应的面积即可.
解答:解:本题是根据三角形类比三棱锥,显然给出的半径是一致的,均为r1,r2,r,不同的是分子,而不再是线段了,二维是线段,三维应该是面积,故把等式
AC
r1
+
BD
r2
=
AB
r
+
2CD
h
中的线段替换成相对应的面积即可,于是得到
S△ADC
r1
+
S△BCD
r2
=
S△ABC
r
+
2S△PDC
h

故答案为:
S△ADC
r1
+
S△BCD
r2
=
S△ABC
r
+
2S△PDC
h
点评:本题考查类比推理,考查学生分析解决问题的能力,掌握类比推理的方法是关键.
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