题目内容
已知函数
【答案】分析:函数
的解析式可化为f(x)=
,令t=
,(t≥3),则f(x)=y=1+
,结合反比例函数的单调性,分类讨论函数的单调性,并分析出函数的值域,构造关于k的不等式,求出各种情况下实数k的取值范围,最后综合讨论结果,可得实数k的取值范围.
解答:解:∵函数
=
令t=
,(t≥3)
则f(x)=y=1+
若k-1<0,即k<1,函数y=1+
在[3,+∞)上为增函数
此时的函数f(x)=y值域为[1+
,1)
若不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立
则2(1+
)≥1,就可以满足条件
解得
<1
若k-1=0,即k=1,
f(x)=1,不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)显然成立
若k-1>0,即k>1
函数y=1+
在[3,+∞)上为减函数
此时的函数f(x)=y值域为(1,1+
]
若不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立
则1+1≥1+
,
解得1<k≤4
综上所述:
≤4
故答案为:
≤4
点评:本题考查的知识点是函数恒成立问题,指数函数的性质,反比例函数的图象和性质,其中利用换元思想及基本不等式将函数的解析式化为f(x)=y=1+
,是解答的关键.




解答:解:∵函数


令t=

则f(x)=y=1+

若k-1<0,即k<1,函数y=1+

此时的函数f(x)=y值域为[1+

若不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立
则2(1+

解得

若k-1=0,即k=1,
f(x)=1,不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)显然成立
若k-1>0,即k>1
函数y=1+

此时的函数f(x)=y值域为(1,1+

若不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立
则1+1≥1+

解得1<k≤4
综上所述:

故答案为:

点评:本题考查的知识点是函数恒成立问题,指数函数的性质,反比例函数的图象和性质,其中利用换元思想及基本不等式将函数的解析式化为f(x)=y=1+


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