Question

若椭圆

x2

m

+

y2

2

=1(m＞2)与双曲线

x2

n

-

y2

2

=1(n＞0)有相同的焦点F₁，F₂，P是椭圆与双曲线的一个交点，则△F₁PF₂的面积是（　　）

• A．4
• B．2
• C．1
• D．

  1

  2

Answer 1

分析：由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2

m

，双曲线的实轴长为2

n

，由它们有相同的焦点，得到m-n=4．不妨设m=5，n=1，根据双曲线和椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2

5

，|PF₁|-|PF₂|=2，△PF₁F₂ 中，由三边的关系得出其为直角三角形，由△PF₁F₂的面积公式即可运算得到结果．

解答：解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，
椭圆的长轴长2

m

，双曲线的实轴长为2

n

，
由它们有相同的焦点，得到m-n=4．
不妨设m=5，n=1，
椭圆的长轴长2

5

，双曲线的实轴长为2，
不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2，①
由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂|=2

5

，②
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=12，
∴PF₁•PF₂=4，
又|F₁F₂|=2

3

，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
则△F₁PF₂的形状是直角三角形
△PF₁F₂的面积为

1

2

•PF₁•PF₂=

1

2

×4=2．
故选B．

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来．