Question

（2009安徽卷理）（本小题满分13分）

如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

（I）求二面角B－AF－D的大小；

（II）求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积.

Answer 1

解析：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。

解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，

G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。

于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角B－AF－D 的平面角。

由， ，得，          

由，得

（向量法）以A为坐标原点，、、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）

设平面ABF的法向量，则由得

令，得，

同理，可求得平面ADF的法向量。         

由知，平面ABF与平面ADF垂直，

二面角B-AF-D的大小等于。

（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。

过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足。

因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而

由得。

又因为          

故四棱锥H-ABCD的体积