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精英家教网将两块三角板按图甲方式拼好,其中∠B=∠D=90°,∠ACD=30°,∠ACB=45°,AC=2,现将三角板ACD沿AC折起,使D在平面ABC上的射影O恰好在AB上,如图乙.
(I)求证:BC⊥AD;
(II)求证:O为线段AB中点;
(III)求二面角D-AC-B的大小的正弦值.
分析:(I)由AD在平面ABC上的射影与BC垂直,即可证明;
(II)通过计算,求得AD=BD,再由等腰三角形高线即中线的性质证得;
(III)利用射影定理作出二面角D-AC-B的平面角,再由正弦定义求得.
解答:(I)证明:由已知D在平面ABC上的射影O恰好在AB上,∴DO⊥平面ABC,
则AO为AD在平面ABC上的射影,
又AO⊥BC,且BC?平面ABC,
∴BC⊥AD.

(II)证明:由(1)得AD⊥BC,又AD⊥DC
且BC∩DC=C,∴AD⊥平面BDC
又∵BD?平面ADB,∴AD⊥BD,
在Rt△ACD中,AD=2sin30°=1;在Rt△ABC中,AB=2sin45°=
2

∴在Rt△ABD中,BD=
2-1
=1,∴BD=AD,
又DO⊥AB,∴O是AB的中点.

(III)解:过D作DE⊥AC于E,连接OE,
∵DO⊥平面ABC,∴OE是DE在平面ABC上的射影.∴OE⊥AC
∴∠DEO是二面角D-AC-B的平面角,
DO=
2
2
,且DE=
AD•DC
AC
=
3
2
,∴sin∠DEO=
DO
DE
=
6
3

即二面角D-AC-B的正弦值为
6
3
点评:本题主要考查射影定理、二面角的平面角及基本运算能力.
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