题目内容

设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)－x＝0有实数根；②函数f(x)的导数(x)满足0＜(x)＜1．”

(Ⅰ)判断函数f(x)＝＋是否是集合M中的元素，并说明理由；

(Ⅱ)集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意

[m，n]D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f(n)－f(m)＝(n－m)(x0)成立．试用这一性质证明：方程f(x)－x＝0只有一个实数根；

(Ⅲ)对于M中的函数f(x)，设x1是方程f(x)－x＝0的实数根，求证：对于f(x)定义域中任意的x2，x3，当|x2－x1|＜1，且|x3－x1|＜1时，|f(x3)－f(x2)|＜2．

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设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．
（Ⅰ）判断函数f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；
（Ⅲ）设x1是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x2、x3，当|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1时，|f（x3）-f（x2）|＜2．
设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足
0＜f′（x）＜1”
（I）证明：函数f（x）=
3x
4
+
x3
3
（0≤x＜
1
2
）是集合M中的元素；
（II）证明：函数f（x）=
3x
4
+
x3
3
（0≤x＜
1
2
）具有下面的性质：对于任意[m，n]⊆[0，
1
2
），都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．
（III）若集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．试用这一性质证明：对集合M中的任一元素f（x），方程f（x）-x=0只有一个实数根．
设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．”
（Ⅰ）判断函数f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x，判断g（x）的单调性（f（x）∈M）；
（Ⅲ）设x1＜x2，证明：0＜f（x2）-f（x1）＜x2-x1．
设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：（1）方程f（x）-x=0有实数解；（2）函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．给出如下函数：
①f(x)=
x
2
+
sinx
4
；
②f（x）=x+tanx，x∈(-
π
2
，
π
2
)；
③f（x）=log3x+1，x∈[1，+∞）．
其中是集合M中的元素的有
①③
①③
．（只需填写函数的序号）
（2012•江西模拟）设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．
（1）若函数f（x）为集合M中的任意一个元素，证明：方程f（x）-x=0只有一个实根；
（2）判断函数g（x）=
x
2
-
lnx
2
+3(x＞1)是否是集合M中的元素，并说明理由；
（3）设函数f（x）为集合M中的任意一个元素，对于定义域中任意α，β，证明|f（α）-f（β）|≤|α-β|

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