题目内容
给出一个不等式
(x∈R).
经验证:当c=1,2,3时,对于x取一切实数,不等式都成立.
试问:当c取任何正数时,不等式对任何实数x是否都成立?若能成立,请给出证明;若不成立,请求出c的取值范围,使不等式对任何实数x都能成立.
解:令f(x)=
,设u=
(u≥
),则f(x)=
(u≥
).
∴f(x)
=
.
要使不等式成立,即f(x)-
≥0.
∵u≥
>0,∴只须u
-1≥0,
∴u2c≥1,即 u2≥
,∴x2+c≥
,∴x2≥
-c.
故当
>c 时,即 0<c<1原不等式不是对一切实数x都成立,即原不等式对一切实数x不都成立.
要使原不等式对一切实数x都成立,即使x2≥
-c对一切实数都成立.
∵x2≥0,故应有
-c≤0.
再由c>0 可得,当c≥1时,原不等式对一切实数x都能成立.
分析:令f(x)=
,设u=
(u≥
),则f(x)=
(u≥
).用分析法可得要使f(x)-
≥0,只需要x2≥
-c. 故当
>c 时,原不等式不是对一切实数x都成立,当
-c≤0时,原不等式对一切实数x都能成立.
点评:本题主要考查函数的恒成立问题,用分析法证明不等式,体现了转化的数学思想,属于中档题.





∴f(x)


要使不等式成立,即f(x)-

∵u≥


∴u2c≥1,即 u2≥



故当

要使原不等式对一切实数x都成立,即使x2≥

∵x2≥0,故应有

再由c>0 可得,当c≥1时,原不等式对一切实数x都能成立.
分析:令f(x)=









点评:本题主要考查函数的恒成立问题,用分析法证明不等式,体现了转化的数学思想,属于中档题.

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