题目内容

给出一个不等式数学公式(x∈R).
经验证:当c=1,2,3时,对于x取一切实数,不等式都成立.
试问:当c取任何正数时,不等式对任何实数x是否都成立?若能成立,请给出证明;若不成立,请求出c的取值范围,使不等式对任何实数x都能成立.

解:令f(x)=,设u=(u≥),则f(x)=(u≥).
∴f(x)=
要使不等式成立,即f(x)-≥0.
∵u≥>0,∴只须u-1≥0,
∴u2c≥1,即 u2,∴x2+c≥,∴x2-c.
故当>c 时,即 0<c<1原不等式不是对一切实数x都成立,即原不等式对一切实数x不都成立.
要使原不等式对一切实数x都成立,即使x2-c对一切实数都成立.
∵x2≥0,故应有 -c≤0.
再由c>0 可得,当c≥1时,原不等式对一切实数x都能成立.
分析:令f(x)=,设u=(u≥),则f(x)=(u≥).用分析法可得要使f(x)-≥0,只需要x2-c. 故当>c 时,原不等式不是对一切实数x都成立,当 -c≤0时,原不等式对一切实数x都能成立.
点评:本题主要考查函数的恒成立问题,用分析法证明不等式,体现了转化的数学思想,属于中档题.
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