题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求函数
的最小值;
(2)若对于任意
恒成立,求
的取值范围;
(3)若,求函数
的最小值.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】
(1)时
,当
时取得最小值
(2)将不等式平方得
,然后只需求出左边的最小值即可
(3)图象分别是以
和
为项点的开口向上的V型线,且两条射线的斜率为
,然后分7种情况讨论这两个函数的位置关系
(1)因为,所以
,
所以当时,
的最小值为1;
(2)因为对任意
恒成立,
所以对任意
恒成立,
所以,
即对任意
恒成立,
所以,解得:
,
所以;
(3),
图象分别是以
和
为项点的
开口向上的V型线,且两条射线的斜率为,
当时,即
,所以
,
此时令,所以
.
若,
,此时
恒成立,
所以,此时
为图中红色部分图象,
对应如下图:
若,令
,
即,所以
.
所以,
此时为图中红色部分图象,对应如下图:
当时,即
,所以
,
此时令,所以
,
若时,
,令
,
即,所以
,
所以,
此时为图中红色部分图象,对应如下图:
若时,
,此时
恒成立,
所以,此时
为图中红色部分图象,
对应如下图:
当时,则
,所以
,所以
恒成立,
令,即
,所以
,
当时,
,
若时,则
,
所以,此时
为图中红色部分图象,
对应如下图:
若时,则
,
所以,此时
为图中红色部分图象,
对应如下图:
若,则
,
所以,此时
为图中红色部分图象,
对应如下图:
综上所述:的最小值为
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