题目内容

已知函数 $数学公式$ 有两个极值点．
（I）求实数a的取值范围；
（II）若存在实数a，使函数f（x）在区间[b，b+2]上单调递增，求实数b的取值范围．

解：（Ⅰ） $\text{[math]}$ ，由题意：a≠0，又
①当a＜0时， $\text{[math]}$ ，f'（x）=0两根异号，不合题意；
②当a＞0时， $\text{[math]}$ 可知△=16-4a＞0，即0＜a＜4，
此时由f′（x）=0得， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，（4分）
由下表

故当0＜a＜4时，函数f（x）的两个极值点．（6分）
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得“?a∈（0，4），使ax²-4x+1≥0对x∈[b，b+2]恒成立”，
即 a＞- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ +4 恒成立，由[b，b+2]?（0，+∞）得b＞0，
又 $\text{[math]}$ 恒成立，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ ．（13分）
分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，由题意知，导数等于0有两个正根，分a＜0和a＞0两种情况讨论．
（Ⅱ）由题意知，?a∈（0，4），使ax²-4x+1≥0对x∈[b，b+2]恒成立，即 a＞- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ +4 恒成立，由 $\text{[math]}$ 恒成立，故x≠ $\text{[math]}$ ，由b＞0，根据 $\text{[math]}$ 不在区间[b，b+2]内，求出实数b的取值范围．
点评：本题考查函数在某点存在极值的条件，利用导数判断函数的单调性的方法，以及函数的恒成立问题．