Question

已知实数列{a_n}是等比数列，其中a₇=1，且a₄，a₅+1，a₆成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{a_n}的前n项和记为S_n，证明：S_n＜128（n=1，2，3，…）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，根据a₇=求得a₁和q的关系，进而根据a₄，4₅+1，a₅成等差数列．求得q，进而求得a₁，则等比数列的饿通项公式可得．
（Ⅱ）根据等比数列的求和公式，求得Sn=128[1-(

1

2

)n]，根据1-(

1

2

)n＜1，进而使原式得证．

解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q（q∈R），
由a₇=a₁q⁶=1，得a₁=q^-6，从而a₄=a₁q³=q^-3，a₅=a₁q⁴=q^-2，a₆=a₁q⁵=q^-1．
因为a₄，a₅+1，a₆成等差数列，所以a₄+a₆=2（a₅+1），
即q^-3+q^-1=2（q^-2+1），q^-1（q^-2+1）=2（q^-2+1）．
所以q=

1

2

．故an=a1qn-1=q-6•qn-1=64(

1

2

)n-1．
（Ⅱ）Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

64[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=128[1-(

1

2

)n]＜128．

点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．