Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N^*，都有S_n=（m+1）-ma_n（m为常数，且m＞0）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列．
（2）设数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足b₁=2a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式．
（3）在满足（2）的条件下，求数列的前n项和T_n

Answer 1

【答案】分析：（1）当n≥2时，根据a_n=S_n-S_n-1，进而得出a_n和a_n-1的关系整理得，因m为常数，进而可证明当n≥2时数列{a_n}是等比数列．，当n=1时等式也成立，原式得证．
（2）根据（1）可得f（m）的解析式．再根据b_n=f（b_n-1）整理可得进而推知数列{b_n}为等差数列，首项为2a₁，公差为1，再根据等差数列的通项公式可得答案．
（3）把（2）中的b_n代入，再通过错位相减法求得T_n
解答：解：（1）证明：当n=1时，a₁=S₁=（m+1）-ma₁，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=ma_n-1-ma_n．
即（1+m）a_n=ma_n-1．
∵m为常数，且m＞0，∴（n≥2）．
∴数列{a_n}是首项为1，公比为的等比数列．
（2）解：由（1）得，q=f（m）=，b₁=2a₁=2．
∵，
∴，即（n≥2）．
∴是首项为，公差为1的等差数列．
∴，即（n∈N^*）．
（3）解：由（2）知，则．
所以，
即T_n=2¹×1+2²×3+2³×5++2^n-1×（2n-3）+2ⁿ×（2n-1），①
则2T_n=2²×1+2³×3+2⁴×5++2ⁿ×（2n-3）+2ⁿ⁺¹×（2n-1），②
②-①得T_n=2ⁿ⁺¹×（2n-1）-2-2³-2⁴--2ⁿ⁺¹，
故．
点评：本题主要考查等比数列的性质．当出现等比数列和等差数列相乘的形式时，求和可用错位相减法．