题目内容
在算式：“4×□+1×□=30”的两个□中，分别填入两个自然数，使他们的倒数之和最小，则这两个数应分别为
5，10
5，10
．分析：先设出两个□，然后利用代入消元法表示出其倒数和，由于该倒数和的形式中分母次数高于分子，则求其倒数的最大值，这与原倒数和的最小值是一致的；最终把代数式转化为x+
+a（x＞0）的形式，利用基本不等式求最值，则由取最值的条件即可解决问题．
| 1 |
| x |
解答：解：设1×m+4n=30，m、n∈N+，则m=30-4n，其中1≤n≤7．
所以y=
+
=
+
=
，
则
=
=
=
=
-
=
+
=
-
+
=
-
+
=-
[（10-n）+
]+
≤-
×2×
+
=
．
当10-n=
时取等号，即
取得最大值，y取得最小值．
解得n=5，则m=10．所以m+n=15．
故答案为5，10．
所以y=
| 1 |
| m |
| 1 |
| n |
| 1 |
| 30-4n |
| 1 |
| n |
| 3(10-n) |
| n(30-4n) |
则
| 1 |
| y |
| n(30-4n) |
| 3(10-n) |
| 40n-4n2-10n |
| 3(10-n) |
| 4n(10-n)-10n |
| 3(10-n) |
| 4n |
| 3 |
| 10n |
| 3(10-n) |
| 4n |
| 3 |
| 10(10-n)-100 |
| 3(10-n) |
=
| 4n |
| 3 |
| 100 |
| 3(10-n) |
| 10 |
| 3 |
| -4(10-n)+40 |
| 3 |
| 100 |
| 3 (10-n) |
| 10 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 25 |
| 10-n |
| 50 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 25 |
| 50 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
当10-n=
| 25 |
| 10-n |
| 1 |
| y |
解得n=5，则m=10．所以m+n=15．
故答案为5，10．
点评：本题主要考查了代数式向形如x+
+a（x＞0，a为常数）的代数式的转化方法，注意分子次数必须高于分母次数；同时考查基本不等式的运用条件，特别是取等号时的条件．该题代数运较为繁琐，运算量较大，属于难题．
| 1 |
| x |
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