Question

设x＞0,求证：sinx+cosx＞1+x-x².

Answer 1

分析：构造函数f(x)=sinx+cosx-1-x+x²然后证明f′(x)＞0.引进g(x)=f′(x),通过判断g(x)的符号，可顺利解决问题.

证明：设f(x)=sinx+cosx-1-x+x²,

则f′(x)=cosx-sinx-1+2x.

只要证f′(x)＞0,

设g(x)=cosx-sinx-1+2x.

g′(x)=-sinx-cosx+2

=(1-sinx)+(1-cosx).

∵sinx=1时cosx=0;cosx=1时sinx=0，

∴1-sinx与1-cosx不能同时为0.

∴g′(x)＞0.

∴g(x)当x＞0时是增函数.

又g(x)在R上是连续函数且g(0)=0.

∴g(x)＞g(0)=0即f′(x)＞0,

∴f(x)在（0，+∞)上是增函数.

且f(0)=0，

∴x＞0时sinx+cosx＞1+x-x².