Question

过点M（4，2）作x轴的平行线被抛物线C：x²=2py（p＞0）截得的弦长为4

2

．
（I）求p的值；
（II）过抛物线C上两点A，B分）别作抛物线C的切线l₁，l₂．
（i）若l₁，l₂交于点M，求直线AB的方程；
（ii）若直线AB经过点M，记l₁，l₂的交点为N，当S△ABN=28

7

时，求点N的坐标．

Answer 1

分析：（I）由已知得点(2

2

，2)在抛物线x²=2py上，代入得即可求出p的值；
（II）设A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，直线AB方程为y=kx+b．将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系及导数的几何意义即可求解．
（i）由题意得M（4，2）是l₁与l₂的交点，从而解决问题．
（ii）由题意得M（4，2）在直线AB上，故4k+b=2，且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=16k-8，涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式），从而求得三角形的面积列出方程求得k值，进而求点N的坐标．

解答：解：（I）由已知得点(2

2

，2)在抛物线x²=2py上，（2分）
代入得8=4p，故p=2．（4分）
（II）设A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，直线AB方程为y=kx+b．
由

y=kx+b x2=4y

得x2-4kx-4b=0，
则x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4b．（6分）
又y=

1

4

x2求导得y′=

x

2

，
故抛物线在A，B两点处的切线斜率分别为

x1

2

，

x2

2

，
故在A，B点处的切线方程分）别为l1：y=

x1

2

x-

x 2 1

4

和l2：y=

x2

2

x-

x 2 2

4

，
于是l₁与l₂的交点坐标为(

x1+x2

2

，

x1•x2

4

)，即为（2k，-b）．（8分）
（i）由题意得M（4，2）是l₁与l₂的交点，
故

2k=4 -b=2

即

k=2 b=-2

故直线AB的方程为2x-y-2=0．（9分）
（ii）由题意得M（4，2）在直线AB上，故4k+b=2，且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=16k-8，
故l₁与l₂的交点N坐标为（2k，4k-2）．（11分）
又|AB|=

1+k2

|x1-x2|=4

(1+k2)(k2-4k+2)

，
点N到直线AB的距离d=

2|k2-4k+2|

1+k2

，
故S△NAB=

1

2

|AB|•d=4(

k2-4k+2

)3．（13分）
故4(

k2-4k+2

)3=28

7

，
即

k2-4k+2

=

7

，得k=-1或5，（14分）
故点N的坐标为（-2，-6）或（10，18）．（15分）

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、直线的方程、抛物线方程等基础知识，考查运算求解能力、方程思想．涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式），属于中档题．