题目内容
由原点O向曲线f(x)=x3-3ax2+x(a≠0)引切线,切点P1(x1,y1)异于O,再由点P1引此曲线的切线,切点P2(x2,y2)异于P1,如此继续下去,得到点列{Pn(xn,yn)}.(1)求x1;
(2)求证:数列{xn-a}为等比数列;
(3)令bn=n|xn-a|,Tn为数列{bn}的前n项的和,若Tn＞2对n∈N*恒成立,求a的取值范围.
(1)解:f′(x)=3x2-6ax+1,
过切点P1(x1,y1)的切线方程为y-y1=(3x12-6ax1+1)(x-x1),
由于切线过原点O,因此0-(x13-3ax12+x1)=(3x12-6ax1+1)(0-x1).
解得x1=
a.
(2)证明:过切点Pn+1(xn+1,yn+1)的切线方程为y-yn+1=(3xn+12-6axn+1+1)(x-xn+1),
由于切线过点Pn(xn,yn),因此yn-yn+1=(3xn+12-6axn+1+1)(xn-xn+1).
化简得xn+2xn+1=3a,
∴xn-a=-2(xn+1-a),
即
=-
.
∴数列{xn-a}是以x1-a=
为首项,公比为-
的等比数列.
(3)解:由(2)得xn-a=
(-
)n-1,
bn=|a|
,
Tn=|a|(
+
+
+…+
).
令Sn=
+
+
+…+
,
由错位相减可求得Sn=2［
］,
∴Tn=2|a|(
)＞2.
由单调性得
≤
＜1.
∴1＜
≤4,|a|＞
.
要使Tn＞2对n∈N*恒成立,故|a|＞4.
∴a的取值范围是(-∞,-4)∪(4,+∞).
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