题目内容

已知函数 $数学公式$ ，设正项数列a_n的首项a₁=2，前n 项和S_n满足S_n=f（S_n-1）（n＞1，且n∈N⁺）．
（1）求a_n的表达式；
（2）在平面直角坐标系内，直线l_n的斜率为a_n，且l_n与曲线y=x²相切，l_n又与y轴交于点D_n（0，b_n），当n∈N^*时，记 $数学公式$ ，若 $数学公式$ ，设T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n，求 $数学公式$ ．

解：（1）由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ，∴数列 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为公差的等差数列，
∴ $\text{[math]}$ ，S_n=2n²，a_n=S_n-S_n-1=4n-2（n≥2），又a₁=2．
∴a_n=4n-2，n∈N⁺．
（2）设l_n：y=a_nx+b_n，由 $\text{[math]}$ ?x²-a_nx-b_n=0．
据题意知方程有相等实根，∴△=a_n²+4b_n=0，
∴ $\text{[math]}$ ，
当n∈N⁺时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ，，所以 $\text{[math]}$ ，由此能求出a_n．
（2）设l_n：y=a_nx+b_n，由 $\text{[math]}$ ，知x²-a_nx-b_n=0，据题意知方程有相等实根，所以 $\text{[math]}$ ，由此能够推导出 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意极限的合理运用．