题目内容

设椭圆E： $数学公式$ 的离心率为e= $数学公式$ ，点P是椭圆上的一点，且点P到椭圆E两焦点的距离之和为 $数学公式$ ．
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且 $数学公式$ ？若存在，求出该圆的方程；若不存在说明理由．

解：（I）依题意知， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．----------（1分）
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．---------------（3分）
∴所求椭圆E的方程为 $\text{[math]}$ ．----------（4分）
（II）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且 $\text{[math]}$ ，
设该圆的切线方程为y=kx+m----------（5分）
代入椭圆方程，消去y可得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，----------------（6分）
则△=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0，x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ，-------------------（7分）
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）= $\text{[math]}$
要使 $\text{[math]}$ ，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即 $\text{[math]}$ ，-------------------（9分）
所以3m²-8k²-8=0，所以 $\text{[math]}$ -------------------（10分）
又8k²-m²+4＞0，所以 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为 $\text{[math]}$ ，
即： $\text{[math]}$ ，∴r= $\text{[math]}$ ，∴所求的圆的方程为： $\text{[math]}$ ，-------------（12分）
而当切线的斜率不存在时切线为 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的两个交点为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．-----------------（13分）
综上所述，存在圆心在原点的圆 $\text{[math]}$ ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且 $\text{[math]}$ ．----------------（14分）
分析：（I）根据离心率为e= $\text{[math]}$ ，点P是椭圆上的一点，且点P到椭圆E两焦点的距离之和为 $\text{[math]}$ ，求出几何量，从而可求椭圆E的方程；
（II）先假设存在，设该圆的切线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及 $\text{[math]}$ ，可确定m的范围及所求的圆的方程，验证当切线的斜率不存在时，结论也成立．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．