Question

已知方程mx⁴-（m-3）x²+3m=0有一个根小于-1，其余三个根都大于-1，则m的取值范围是

（-1，0）

．

Answer 1

分析：将方程mx⁴-（m-3）x²+3m=0转化为函数f（x）=mx⁴-（m-3）x²+3m，换元设t=x²，则对应函数为g（t）=mt²-（m-3）t+3m，然后利用二次函数根的分布，确定实数m的取值范围．

解答：解：由题意知m≠0，设函数f（x）=mx⁴-（m-3）x²+3m，为偶函数．
因为方程有1个根小于-1，其余3个根都大于-1，
所以方程一个根小于-1，对应的另一个根大于1，两外两个根一个在（-1，0）之间，一个在（0，1）之间．
设t=x²，则对应函数为g（t）=mt²-（m-3）t+3m，对应方程的两个根t大于1，两外一个根t∈（0，1）．
若m＞0，则

g(0)＞0 g(1)＜0

，即

3m＞0  m-(m-3)+3m＜0

，
解得

m＞0  m＜-1

，此时不等式组无解．
若m＜0，则

g(0)＜0  g(1)＞0

，即

3m＜0 m-(m-3)+3m＞0

，
解得

m＜0 m＞-1

，此时解得-1＜m＜0．
综上可知，m的取值范围是（-1，0）．
故答案为：（-1，0）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用以及一元二次方程根的分布问题．利用换元法将四次函数转化为一元二次函数，是解决本题的关键．