题目内容

已知
i
=(1，0)，
j
=(0，1)，
a
=
i
-2
j
，
b
=
i
+m
j
，给出下列说法：
①若
a
与
b
的夹角为锐角，则m＜
1
2
；
②当且仅当m=
1
2
时，
a
与
b
互相垂直；
③
a
与
b
不可能是方向相反的两个向量；
④若|
a
|=|
b
|，则m=-2．
其中正确的序号是（　　）
分析：①由
a
与
b
的夹角为锐角，可得
a
•
b
＞0，且＜
a
，
b
＞≠0，解出即可．
②
a
⊥
b
?
a
•
b
=1-2m=0，解得即可；
③若
a
=-
b
，则（1，-2）=-（1，m）不成立，可知
a
与
b
不可能是方向相反的两个向量确；
④利用向量模的计算公式|
a
|=|
b
|，可得
1+(-2)2
=
1+m2
，解得m即可．
解答：解：①
a
=(1，-2)，
b
=(1，m)．∵
a
与
b
的夹角为锐角，∴
a
•
b
＞0，且＜
a
，
b
＞≠0，
则m＜
1
2
，且1-2m≠
1+(-2)2
×
1+m2
，m≠-2，故不正确；
②
a
⊥
b
?
a
•
b
=1-2m=0，解得m=
1
2
．故正确；
③若
a
=-
b
，则（1，-2）=-（1，m）不成立，∴
a
与
b
不可能是方向相反的两个向量，正确；
④∵|
a
|=|
b
|，∴
1+(-2)2
=
1+m2
，解得m=±2，故不正确．
综上可知：只有②③．
故选D．
点评：熟练掌握向量的数量积运算、模的计算公式、共线定理、向量垂直与数量积的关系等是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知
i
=(1，0)，
jn
=(cos2
nπ
2
，sin
nπ
2
)，
Pn
=(an，sin
nπ
2
)(n∈N+)，数列{an}满足：a1=1，a2=1，an+2=(i+
jn
)•
Pn
．
（I）求证：数列{a2k-1}是等差数；数列{a2k}是等比数列；（其中k∈N*）；
（II）记an=f（n），对任意的正整数n≥2，不等式（cosnπ）[f（n2）-λf（2n）]≤0，求λ的取值范围．
（2009•浦东新区二模）已知
i
=(1，0)，
c
=(0，
2
)，若过定点A(0，
2
)、以
i
-λ
c
（λ∈R）为法向量的直线l1与过点B(0，-
2
)以
c
+λ
i
为法向量的直线l2相交于动点P．
（1）求直线l1和l2的方程；
（2）求直线l1和l2的斜率之积k1k2的值，并证明必存在两个定点E，F，使得|
PE
|+|
PF
|恒为定值；
（3）在（2）的条件下，若M，N是l：x=2
2
上的两个动点，且
EM
•
FN
=0，试问当|MN|取最小值时，向量
EM
+
FN
与
EF
是否平行，并说明理由．
已知
i
=(1，0)，
jn
=(cos2
nπ
2
，sin
nπ
2
)，
Pn
=(an，sin
nπ
2
)(n∈N+)，数列{an}满足：a1=1，a2=1，an+2=(i+
jn
)•
Pn
．
（I）求证：数列{a2k-1}是等差数；数列{a2k}是等比数列；（其中k∈N*）；
（II）记an=f（n），对任意的正整数n≥2，不等式（cosnπ）[f（n2）-λf（2n）]≤0，求λ的取值范围．
已知
i
=(1，0)，
j
=(0，1)，
a
=
i
-2
j
，
b
=
i
+m
j
，给出下列说法：
①若
a
与
b
的夹角为锐角，则m＜
1
2
；
②当且仅当m=
1
2
时，
a
与
b
互相垂直；
③
a
与
b
不可能是方向相反的两个向量；
④若|
a
|=|
b
|，则m=-2．
其中正确的序号是（　　）
A．①②③B．①②③④C．②④D．②③

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