Question

在极坐标系中，点M坐标是（3，

π

2

），曲线C的方程为ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是-1的直线l 经过点M．
（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求证直线l和曲线C相交于两点A、B，并求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析：（1）先求点M的直角坐标是（0，3），直线l倾斜角，从而可写出直线l参数方程；利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

将即坐标方程化为直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义可解．

解答：解：（1）∵点M的直角坐标是（0，3），直线l倾斜角是135⁰，…（1分）
∴直线l参数方程是

x=tcos1350 y=3+tsin1350

，即

x=- 2 2 t y=3+ 2 2 t

，…（3分）
ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ化简得x²+y²-2x-2y=0，∴曲线C
的直角坐标方程为x²+y²-2x-2y=0；…（5分）
（2）

x=- 2 2 t y=3+ 2 2 t

代入x²+y²-2x-2y=0，得t2+3

2

t+3=0，
∵△＞0，∴直线l和曲线C相交于两点A、B，…（7分）
设t2+3

2

t+3=0的两个根是t₁，t₂，t₁t₂=3，
∴|MA|•|MB|=3．                  …（10分）

点评：本题主要考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．要求学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．属于中等题