题目内容

在极坐标系中,点M坐标是(3,
π
2
),曲线C的方程为ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)
;以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率是-1的直线l 经过点M.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)求证直线l和曲线C相交于两点A、B,并求|MA|•|MB|的值.
分析:(1)先求点M的直角坐标是(0,3),直线l倾斜角,从而可写出直线l参数方程;利用
x=ρcosθ
y=ρsinθ
将即坐标方程化为直角坐标方程;
(2)将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,利用参数的几何意义可解.
解答:解:(1)∵点M的直角坐标是(0,3),直线l倾斜角是1350,…(1分)
∴直线l参数方程是
x=tcos1350
y=3+tsin1350
,即
x=-
2
2
t
y=3+
2
2
t
,…(3分)
ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)
即ρ=2(sinθ+cosθ),两边同乘以ρ化简得x2+y2-2x-2y=0,∴曲线C
的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0;…(5分)
(2)
x=-
2
2
t
y=3+
2
2
t
代入x2+y2-2x-2y=0,得t2+3
2
t+3=0

∵△>0,∴直线l和曲线C相交于两点A、B,…(7分)
t2+3
2
t+3=0
的两个根是t1,t2,t1t2=3,
∴|MA|•|MB|=3.                  …(10分)
点评:本题主要考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化,点到直线的距离公式.要求学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.属于中等题
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