Question

（考生注意：请在下面两题中任选一题作答，如果都做，则按所做第1题评分）
（1）（坐标系与参数方程选做题）
曲线C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数）上的点到曲线C₂：

x=-2 2 + 1 2 t y=1- 1 2 t

(t为参数)上的点的最短距离为

1

．
（2）（几何证明选讲选做题）
如图，已知：△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是圆O的切线，若∠B=30°，AC=1，则AD的长为

3

．

Answer 1

分析：（1）把曲线C₁和曲线C₂的方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，将此距离减去半径，即得所求．
（2）根据同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系，得到∠AOC=60°，根据含有60°角的等腰三角形是一个等边三角形，可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=1，利用勾股定理求得AD的长．

解答：解：（1）曲线C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数）消去参数，化为普通方程为 （x-1）²+y²=1，表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆．
曲线C₂：

x=-2 2 + 1 2 t y=1- 1 2 t

(t为参数)即 x+y+2

2

-1，表示一条直线．
圆心到直线的距离等于

|1+0+2 2 -1|

2

=2，故曲线C₁：上的点到到曲线C₂的距离最小值等于2-1=1，
故答案为 1．
（2）：∵∠B=30，∠AOC与∠B同时对应着弧AC，∴∠AOC=60°．
∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA=AC=1，
∵∠OAD=90°，∠D=30°，AD=

3

AO=

3

，
故答案为

3

．

点评：本题考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系的应用．以及和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
本题解题的关键是应用含有30°角的直角三角形的性质做出有关的数据，是一个基础题．