题目内容
已知二次函数与
交于
两点且
,奇函数
,当
时,
与
都在
取到最小值.
(1)求的解析式;
(2)若与
图象恰有两个不同的交点,求实数
的取值范围.
【答案】
(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)由已知是奇函数,故
,从而得
,所以
,又当
时,
在
取到最小值,由均值不等式等号成立的条件可得
,即
.再由已知
及弦长公式,得
,解方程组便得
的值,从而得函数
和
的解析式;(2)由已知,
与
,即
有两个不等的实根,将问题转化为方程
有两个不等的实根,即一元二次方程根的分布问题,列不等式组解决问题.
试题解析:(1)因为是奇函数,由
得
,所以
,由于
时,
有最小值,所以
,则
,当且仅当:
取到最小值,所以
,即
.
设,
,则
.由
得:
,所以:
,解得:
,所以
6分
(2)因为与
,即
有两个不等的实根,也即方程
有两个不等的实根.
当时,有
,解得
;当
时,有
,无解.
综上所述,.
13分
考点:1.函数的最值;2.函数的奇偶性;3.弦长公式;4.一元二次方程根的分布问题.
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