Question

将函数（x∈[0，2]）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为________．

Answer 1

60°
分析：根据二次函数的单调性，可得函数在[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数．利用求导公式和导数的运算法则，可得函数的导数为f'（x）=，再设函数在 x=0 处，函数图象的切线斜率为k，则k=f'（0）==tan30°，可得切线的倾斜角为 30°．因此，可得要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，最大旋转角为 90°-30°=60°．
解答：设f（x）=，根据二次函数的单调性，可得函数在[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数．
设函数在 x=0 处，切线斜率为k，则k=f'（0）
∵f'（x）==，
∴k=f'（0）==tan30°，可得切线的倾斜角为 30°，
因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，
旋转θ后的切线倾斜角最多为 90°，
也就是说，最大旋转角为 90°-30°=60°，即θ的最大值为60°
故答案为：60°
点评：本题给出二次式作为被开方数的一个函数，将函数图象绕原点逆时针旋转θ后，所得曲线仍是一个函数的图象，求角θ的最大值，着重考查了导数的几何意义和函数的图象与图象变化等知识点，属于中档题．