Question

某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润（单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2．若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润（即数学期望）为4.9元．

等级	一等品	二等品	三等品	次品
P	0.6	a	0.1	b

表1　

等级	一等品	二等品	三等品	次品
利润	6	5	4	-1

表2
（1）求a，b的值；
（2）从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率．

Answer 1

解：（1）设1件产品的利润为随机变量ξ，
依题意得ξ的分布列为：

ξ	6	5	4	-1
P	0.6	a	0.1	b

∴Eξ=6×0.6+5a+4×0.1-b=4.9，即5a-b=0.9．
∵0.6+a+0.2+0.1+b=1，即a+b=0.3，
解得a=0.2，b=0.1．
∴a=0.2，b=0.1．
（2）为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，则这3件产品可以有两种取法：3件都
是一等品或2件一等品，1件二等品．
故所求的概率P=0.6³+C₃²×0.6²×0.2=0.432．
分析：（1）根据题意写出ξ的分布列，表示出变量的期望值，根据分布列的性质及各个变量的概率之和是1，和期望值列出关于a，b的方程组，解方程组即可．
（2）所取出的3件产品的总利润不低于17元，表示这3件产品可以有两种取法：3件都是一等品或2件一等品，1件二等品．这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望值的应用，是一个用方程的思想来解决分布列问题的题目，解题的关键是熟练应用分布列的性质．