Question

已知a为实数，且0＜a＜1，f（x）是定义在[0，1]上的函数，满足f（0）=0，f（1）=1，对所有x≤y，均有f（

x+y

2

）=（1-a）f（x）+af（y），则a的值是

1

2

．

Answer 1

分析：由f（

x+y

2

）=（1-a）f（x）+af（y），进行赋值，可得出关于a的方程，即可求得a的值．

解答：解：由f（

x+y

2

）=（1-a）f（x）+af（y），
令x=0，y=1，可得f（

1

2

）=（1-a）f（0）+af（1）=a，
令x=0，y=

1

2

，可得f（

1

4

）=（1-a）f（0）+af（

1

2

）=a²，
令x=

1

2

，y=1，可得f（

3

4

）=（1-a）f（

1

2

）+af（1）=2a-a²，
令x=

1

4

，y=

3

4

，可得f（

1

2

）=（1-a）f（

1

4

）+af（

3

4

）
∴a=（1-a）a²+a（2a-a²）
∴a（2a-1）（a-1）=0
∵0＜a＜1，
∴a=

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题考查抽象函数，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．