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精英家教网已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边为6,高为4的等腰三角形,求该几何体的表面积.
分析:根据题意,该几何体是一个四棱锥,其底面是边长分别为6和8的矩形,侧棱长均相等且高SO=4.因此利用线面垂直的性质结合勾股定理算出等腰△SAB和等腰△SCB的高长,从而算出四个侧面等腰三角形的面积,结合矩形ABCD的面积即可得到该几何体的全面积.
解答:解:由三视图可判断几何体为四棱锥,其直观图如图:
可得该几何体是底面边长分别为6和8的矩形,
且侧棱长均相等的四棱锥,高长为SO=4,如图所示
因此,等腰△SAB的高SE=
SO2+OE2
=5
等腰△SCB的高SF=
SO2+OF2
=
42+42
=4
2

∴S△SAB=S△SCD=
1
2
×AB×SE
=20,
S△SCB=S△SAD=
1
2
×CB×SF=12
2

∵矩形ABCD的面积为6×8=48,
∴该几何体的表面积为
S=S△SAB+S△SCD+S△SCB+S△SAD+SABCD
=2×20+2×12
2
+48=24
2
+88.
∴几何体的表面积为88+24
2

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点评:本题给出四棱锥的三视图,要我们根据题中数据计算四棱锥的全面积,着重考查了线面垂直的性质、三视图的理解和锥体表面积计算等知识.
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