Question

已知数列{a_n}是等比数列，S_n为其前n项和．
（1）若S₄，S₁₀，S₇成等差数列，证明a₁，a₇，a₄也成等差数列；
（2）设S3=

3

2

，S6=

21

16

，b_n=λa_n-n²，若数列{b_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设数列{a_n}的公比为q，根据等差中项的性质可知2S₁₀=S₄+S₇，代入等比数列求和公式整理得1+q³=2q⁶．进而根据等比数列的通项公式可推断a₁+a₄=2a₇．进而证明原式．
（2）把等比数列的求和公式代入S₃和S₆，两式相除即可求得q，把q代入S₃求得a₁，进而可得数列{a_n}的通项公式，根据数列{b_n}是单调递减数列可知b_n+1＜b_n，把b_n=λa_n-n²代入不等式，进而根据当n是奇数时，当n=1时取最大值；n是偶数时，当n=2时取最大值，进而得到λ的范围．

解答：解：（1）证明：设数列{a_n}的公比为q，
因为S₄，S₁₀，S₇成等差数列，所以q≠1，且2S₁₀=S₄+S₇．
所以

2a1(1-q10)

1-q

=

a1(1-q4)

1-q

+

a1(1-q7)

1-q

，
因为1-q≠0，所以1+q³=2q⁶．
所以a₁+a₁q³=2a₁q⁶，即a₁+a₄=2a₇．
所以a₁，a₇，a₄也成等差数列．
（2）因为S3=

3

2

，S6=

21

16

，
所以

a1(1-q3)

1-q

=

3

2

，①

a1(1-q6)

1-q

=

21

16

，②
由②÷①，得1+q3=

7

8

，所以q=-

1

2

，代入①，得a₁=2．
所以an=2•(-

1

2

)n-1，
又因为b_n=λa_n-n²，所以bn=2λ(-

1

2

)n-1-n2，
由题意可知对任意n∈N^*，数列{b_n}单调递减，
所以b_n+1＜b_n，即2λ(-

1

2

)n-(n+1)2＜2λ(-

1

2

)n-1-n2，
即6λ(-

1

2

)n＜2n+1对任意n∈N^*恒成立，
当n是奇数时，λ＞-

(2n+1)2n

6

，当n=1时，-

(2n+1)2n

6

取得最大值-1，
所以λ＞-1；
当n是偶数时，λ＜

(2n+1)2n

6

，当n=2时，

(2n+1)2n

6

取得最小值

10

3

，
所以λ＜

10

3

．
综上可知，-1＜λ＜

10

3

，即实数λ的取值范围是(-1，

10

3

)．

点评：本题主要考查等比数列的性质，考查了学生根据已知条件，分析和解决问题的能力．