Question

某工厂日生产某种产品最多不超过30件，且在生产过程中次品率p与日产量x（x∈N⁺）件间的关系为 
p=

x+20 200 0＜x≤15 x2+300 3000 15＜x≤30

，每生产一件正品盈利2900元，每出现一件次品亏损1100元．
（Ⅰ）将日利润y（元）表示为日产量x（件）的函数；
（Ⅱ）该厂的日产量为多少件时，日利润最大？
（注：次品率p=

次品个数

产品总数

×100%，正品率=1-p）

Answer 1

分析：（I）由已知中，工厂日生产某种产品最多不超过30件，且在生产过程中次品率p与日产量x（x∈N⁺）件间的关系为，p=

x+20 200 0＜x≤15 x2+300 3000 15＜x≤30

，每生产一件正品盈利2900元，每出现一件次品亏损1100元．我们易得到日利润y（元）表示为日产量x（件）的分段函数的形式，
（II）根据分段函数分段处理的原则，我们求出两段的最大值，进而分析两个最大值，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意得：
y=

2900(1- x+20 200 )x-1100× x+20 200 ×x 0＜x≤15 2900(1- x2+300 3000 )x-1100× x2+300 3000 ×x 15＜x≤30

=

2500x-20x2 0＜x≤15 2500x- 4 3 x3 15＜x≤30

（6分）
（II）当0＜x≤15时，y=2500x-20x²，
∴当x=15时，y取得最大值33000元…6分
当15＜x≤30时，y=2500x-

4

3

x3
则y′=2500-4x²，令y′=0，则x=25
∵当15＜x≤25时，y′≥0，当25＜x≤30，y′＜0…8分
故当x=25时，y取得最大值

125000

3

元…10分
∵33000＜

125000

3

∴当x=25时，y取得最大值

125000

3

元
即该厂的日产量为25件时，日利润最大…12分

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，利用导数求半月区间上的函数的最值，其中分析题意，求出满足条件的函数的解析式，是解答本题的关键．