Question

a是实常数，函数f（x）对于任何的非零实数x都有f(

1

x

)=af(x)-x-1，且f(1)=1，则不等式f（x）-x≥0的解集为（　　）

• A、(-∞，-

  1

  5

  ]∪(0，1]
• B、(-∞，-

  1

  5

  ]∪[1，+∞)
• C、[-

  1

  5

  ，0∪(0，1]
• D、[-

  1

  5

  ，0)∪[1，+∞)

Answer 1

分析：根据f（1）=1，代入已知的等式中求出a的值，再把a的值代入等式得到一个关系式，记作①，把x换为

1

x

得到令一个关系式，记作②，把①代入②即可得到f（x）的解析式，把求出的f（x）代入不等式中，分x大于0和x小于0两种情况考虑，当x大于0时去分母时不等号方向不变，当x小于0时去分母不等号方向改变，分别求出相应的解集，求出两解集的并集即为原不等式的解集．

解答：解：因为f（1）=1，所以f（1）=af（1）-2，即a-2=1，解得a=3，
所以f（

1

x

）=3f（x）-x-1①，
设

1

x

=t，得到f（t）=3f（

1

t

）-

1

t

-1，即f（x）=3f（

1

x

）-

1

x

-1②，
将①代入②得：f（x）=3[3f（x）-x-1]-

1

x

-1，
化简得：f（x）=

3x

8

+

1

8x

+

1

2

，
代入不等式得：

3x

8

+

1

8x

+

1

2

-x≥0，
当x＞0时，去分母得：5x²-4x-1≤0，即（5x+1）（x-1）≤0，
解得：-

1

5

≤x≤1，所以原不等式的解集为（0，1]；
当x＜0时，去分母得：5x²-4x-1≥0，即（5x+1）（x-1）≥0，
解得：x≥1或x≤-

1

5

，所以原不等式的解集为（-∞，-

1

5

]，
综上，原不等式的解集为（-∞，-

1

5

]∪（0，1]．
故选A

点评：此题考查了其他不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题．确定出f（x）的解析式是解本题的关键．