Question

12．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点
（Ⅰ）求证：平面A₁ED⊥平面EBD；
（Ⅱ）求二面角A₁-DE-B的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立坐标系，通过向量数量积为0得OA₁⊥DB、OA₁⊥DE，再利用面面垂直的判定定理即可；
（Ⅱ）先求出平面A₁DE的一个法向量$\overrightarrow{n}$，根据$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=（1，-1，2）是平面EBD的一个法向量，通过求两个法向量之间的夹角的余弦值的绝对值即可．

解答 （I）证明：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，建立坐标系D-xyz如图，
则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，2），
B₁（2，2，2），C₁（0，2，2），D₁（0，0，2），E（0，2，1），
BD的中点0（1，1，0），$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=（1，-1，2），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
$\overrightarrow{DE}$=（0，2，1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），
∵$\overrightarrow{O{A}_{1}}•\overrightarrow{DB}=1×2-1×2+2×0=0$，
$\overrightarrow{O{A}_{1}}$•$\overrightarrow{DE}$=-1×0-1×2+2×1=0，
∴OA₁⊥DB，OA₁⊥DE，
又∵DB∩DE=D，DB?平面EBD，DE?平面EBD，
∴OA₁?平面A₁BD，∴平面A₁BD⊥平面EBD；
（II）解：由（I）知：$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=（1，-1，2）是平面EBD的一个法向量，
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面A₁DE的一个法向量，则$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{D{A}_{1}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2y+z=0}\\{2x+2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，解得$\left\{\begin{array}{l}{z=-2}\\{x=2}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（2，1，-2）是平面A₁DE的一个法向量，
设二面角A₁-DE-B的大小为θ，则|cosθ|=$|\frac{\overrightarrow{O{A}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{O{A}_{1}}||\overrightarrow{n}|}|$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∵0＜θ＜π，∴$sinθ=\sqrt{1-co{s}^{2}θ}=\frac{\sqrt{30}}{6}$，
∴二面角A₁-DE-B的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

点评 本题考查面面垂直的判定定理，向量的法向量，向量数量积运算，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．