题目内容
数列
的前n项和．（1）求证：数列
是等比数列，并求{bn}的通项公式；（2）如果{bn}对任意
恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】分析：（1）对数列递推式进行变形，即可证明数列
是等比数列，从而可求其通项，进而可求{bn}的通项公式；
（2）先求出数列的和，再利用分离参数法，证明数列的单调性，即可求得实数k的取值范围．
解答：（1）证明：对任意n∈N*，都有
，所以
…（1分）
则数列
成等比数列，首项为
，公比为
…（2分）
所以
，
∴
…（4分）
（2）解：因为
所以
…（6分）
因为不等式
，化简得
对任意n∈N*恒成立…（7分）
设
，则
…（9分）
当n≥5，cn+1≤cn，{cn}为单调递减数列，当1≤n＜5，cn+1＞cn，{cn}为单调递增数列
∵
，
，∴c4＜c5，∴n=5时，cn取得最大值
…（11分）
所以，要使
对任意n∈N*恒成立，
…（12分）
点评：本题考查数列的递推式，考查构造法证明等比数列，考查恒成立问题，解题的关键是分离常数，确定数列的最值．
是等比数列，从而可求其通项，进而可求{bn}的通项公式；（2）先求出数列的和，再利用分离参数法，证明数列的单调性，即可求得实数k的取值范围．
解答：（1）证明：对任意n∈N*，都有
，所以…（1分）则数列
成等比数列，首项为，公比为…（2分）所以
，∴
…（4分）（2）解：因为
所以
…（6分）因为不等式
，化简得对任意n∈N*恒成立…（7分）设
，则…（9分）当n≥5，cn+1≤cn，{cn}为单调递减数列，当1≤n＜5，cn+1＞cn，{cn}为单调递增数列
∵
，，∴c4＜c5，∴n=5时，cn取得最大值…（11分）所以，要使
对任意n∈N*恒成立，…（12分）点评：本题考查数列的递推式，考查构造法证明等比数列，考查恒成立问题，解题的关键是分离常数，确定数列的最值．
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