Question

已知函数

（1）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值；

（2）若对任意实数恒成立，确定实数的取值范围；

（3）当时，是否存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）， 因此在处的切线的斜率为，

又直线的斜率为， ∴（）＝－1，

∴ ＝－1.

（2）∵当≥0时，恒成立，

∴ 先考虑＝0，此时，，可为任意实数；

  又当＞0时，恒成立，

则恒成立， 设＝，则＝，

当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增，

当∈(1,＋∞)时，＜0，在(1,＋∞)上单调递减，

故当＝1时，取得极大值，，

∴ 实数的取值范围为．

（3）依题意，曲线C的方程为，

令＝，则

设，则，

当，，故在上的最小值为，

所以≥0，又，∴＞0，

而若曲线C：在点处的切线与轴垂直，

则＝0，矛盾。

所以，不存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直.