Question

已知长方体AC₁中，棱AB=BC=1，棱BB₁=2，连接B₁C，过B点作B₁C的垂线交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求证：A₁C⊥平面EBD；
（2）求点A到平面A₁B₁C的距离．

Answer 1

分析：（1）根据三垂线定理证线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直；
（2）利用线面平行，将A到平面的距离转化为B到平面的距离，再利用三棱锥的换底性求高即可．

解答：解：（1）证明：∵长方体A₁C，∴A₁B₁⊥平面BC₁，B₁C为A₁C在平面BC₁上的射影，
∵BE⊥B₁C，由三垂线定理得，A₁C⊥BE，
同理A₁C⊥BD
∵BE∩BD=B，∴A₁C⊥面BDE．
（2）∵AB∥面A₁B₁C，∴点A到面A₁B₁C的距离即为点B到面A₁B₁C的距离，设为d
∵VA1-B1BC=VB-A1B1C，∴

1

3

×

1

2

×2×1×1=

1

3

×

1

2

×

5

×1×d，
∴d=

2 5

5

，
∴点A到平面A₁B₁C的距离为

2 5

5

．

点评：本题考查线面垂直的判定及点到平面的距离．利用转化思想与三棱锥的换底性求点到平面的距离是常用方法．