题目内容
【题目】已知函数.
(I)如果在
处取得极值,求
的值.
(II)求函数的单调区间.
(III)当时,过点
存在函数曲线
的切线,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析;(III)
.
【解析】试题分析:(I)求导数,由解得k的值即为所求;(II)求得
,分
和
两种情况讨论函数的单调区间;(III)先设出切点
,并求出函数在该点处的切线为
,将
代入切线放长可得
,由此可得t的范围即函数
的 值域,求函数的值域可得所求。
试题解析:
(Ⅰ)函数的定义域为.
∵,
∴,
∵函数在
处取得极值,
∴,解得
当时,
,
∴当时,
单调递增;
当时,
单调递减,
∴函数在
处取得极小值,符合题意.
∴
(Ⅱ)因为.
①当时,
恒成立,所以
在
上单调递减,
②当时,令
,得
,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增。
综上,当时,
的单调减区间为
;
当时,
的单调减区间为
,单调增区间为
。
(III)当时,
,
设切点坐标为,则
.
又,
所以切线方程为,
将代入上式得
.
令,所以
.
当时,解得
.
所以当时,
,函数
单调递增;
当时,
,函数
单调递减.
所以当时,函数
有极大值,也为最大值,且
,无最小值.
所以当时,存在切线.
故的取值范围为
.
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