题目内容
（2012•三明模拟）某公园里有一造型别致的小屋，其墙面与水平面所成的角为θ，小屋有一扇面向正南的窗户，现要在窗户的上方搭建一个与水平面平行的遮阳篷，如图1所示．如图2是遮阳篷的截面示意图，AB表示窗户上、下边框的距离，AB=m，CD表示遮阳篷．已知该公园夏季正午太阳最高这一天，太阳光线与水平面所成角为α，冬季正午太阳最低这一天，太阳光线与水平面所成角为β（α＞β）．若要使得夏季正午太阳最高这一天太阳光线不从窗户直射进室内，而冬季正午太阳最低这一天太阳光线又恰能最大限度地直射进室内，那么遮阳篷的伸出长度CD和遮阳篷与窗户上边框的距离BC各为多少？
分析：根据图形，设BC=x，CD=y，依题意∠ADC=α，∠BDC=β．在△BCD中，由正弦定理得
=
，在△ACD中，由正弦定理得
=
，联立两式，即可求得结论．
| x |
| sinβ |
| y |
| sin(θ-β) |
| m+x |
| sinα |
| y |
| sin(θ-α) |
解答：
解：如图所示，设BC=x，CD=y，
依题意∠ADC=α，∠BDC=β．…（2分）
在△BCD中，∠BCD=π-θ，∠CBD=π-∠BDC-∠BCD=θ-β，
由正弦定理得
=
，①…（4分）
在△ACD中，∠CAD=π-∠ACD-∠CDA=θ-α，
AB=m，AC=m+x，由正弦定理得
=
，②…（6分）
由①②得
=
，…（8分）
所以x=
，…（11分）
y=
x=
．…（13分）
答：遮阳篷的伸出长度CD为
，遮阳篷与窗户上边框的距离BC为
．…（14分）
解：如图所示，设BC=x，CD=y，依题意∠ADC=α，∠BDC=β．…（2分）
在△BCD中，∠BCD=π-θ，∠CBD=π-∠BDC-∠BCD=θ-β，
由正弦定理得
| x |
| sinβ |
| y |
| sin(θ-β) |
在△ACD中，∠CAD=π-∠ACD-∠CDA=θ-α，
AB=m，AC=m+x，由正弦定理得
| m+x |
| sinα |
| y |
| sin(θ-α) |
由①②得
| xsin(θ-β) |
| sinβ |
| (m+x)sin(θ-α) |
| sinα |
所以x=
| msin(θ-α)sinβ |
| sinαsin(θ-β)-sinβsin(θ-α) |
y=
| sin(θ-β) |
| sinβ |
| msin(θ-α)sin(θ-β) |
| sinαsin(θ-β)-sinβsin(θ-α) |
答：遮阳篷的伸出长度CD为
| msin(θ-α)sinβ |
| sinαsin(θ-β)-sinβsin(θ-α) |
| msin(θ-α)sin(θ-β) |
| sinαsin(θ-β)-sinβsin(θ-α) |
点评：本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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