题目内容

已知函数,其中为自然对数的底数。
(Ⅰ)设是函数的导函数,求函数在区间上的最小值;
(Ⅱ)若,函数在区间内有零点,证明:.

(Ⅰ)当时, ;当时,
时, .(Ⅱ)的范围为.

解析试题分析:(Ⅰ)易得,再对分情况确定的单调区间,根据上的单调性即可得上的最小值.(Ⅱ)设在区间内的一个零点,注意到.联系到函数的图象可知,导函数在区间内存在零点在区间内存在零点,即在区间内至少有两个零点. 由(Ⅰ)可知,当时,内都不可能有两个零点.所以.此时,上单调递减,在上单调递增,因此,且必有.由得:,代入这两个不等式即可得的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)
①当时,,所以.
②当时,由.
,则;若,则.
所以当时,上单调递增,所以.
时,上单调递减,在上单调递增,所以.
时,上单调递减,所以.
(Ⅱ)设在区间内的一个零点,则由可知,
在区间上不可能单调递增,也不可能单调递减.
不可能恒为正,也不可能恒为负.
在区间内存在零点.
同理在区间内存在零点.
所以

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