题目内容
如图,已知椭圆
+
=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D,设f(m)=||AB|-|CD||.
(1)求f(m)的解析式;
(2)求f(m)的最值.
x2 |
m |
y2 |
m-1 |
(1)求f(m)的解析式;
(2)求f(m)的最值.
分析:(1)由椭圆的方程可得准线方程,进而得到A,D的坐标,直线与椭圆的方程联立可得△>0及其根与系数关系,和两点间的距离公式,即可得到f(m);
(2)利用(1)及其反比例函数的单调性即可得出.
(2)利用(1)及其反比例函数的单调性即可得出.
解答:解:(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c,则a2=m,b2=m-1,c2=a2-b2=1.
∴椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),故直线的方程为y=x+1,
又椭圆的准线方程为x=±
,即x=±m,
∴A(-m,-m+1),D(m,m+1)
联立
,消去y得:(m-1)x2+m(x+1)2=m(m-1),
整理得:(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0,△=4m2-4(2m-1)(2m-m2)=8m(m-1)2,
∵2≤m≤5,∴△>0恒成立,∴xB+xC=
.
又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上,∴|AB|=
|xA-xB|=
(xB-xA),|CD|=
(xD-xC),
∴||AB|-|CD||=
|(xB+xC)-(xA+xD)|,
又∵xA=-m?,xD=m,∴xA+xD=0.
∴||AB|-|CD||=
|xB+xC|=
=
(2≤m≤5),
∴f(m)=
,m∈[2,5].
(2)由f(m)=
,可知f(m)=
,又2-
≤2-
≤2-
,
∴f(m)∈[
,
].
故f(m)的最大值为
,此时m=2;f(m)的最小值为
,此时m=5.
∴椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),故直线的方程为y=x+1,
又椭圆的准线方程为x=±
a2 |
c |
∴A(-m,-m+1),D(m,m+1)
联立
|
整理得:(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0,△=4m2-4(2m-1)(2m-m2)=8m(m-1)2,
∵2≤m≤5,∴△>0恒成立,∴xB+xC=
-2m |
2m-1 |
又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上,∴|AB|=
2 |
2 |
2 |
∴||AB|-|CD||=
2 |
又∵xA=-m?,xD=m,∴xA+xD=0.
∴||AB|-|CD||=
2 |
2
| ||
|2m-1| |
2
| ||
2m-1 |
∴f(m)=
2
| ||
2m-1 |
(2)由f(m)=
2
| ||
2m-1 |
2
| ||
2-
|
1 |
2 |
1 |
m |
1 |
5 |
∴f(m)∈[
10
| ||
9 |
4
| ||
3 |
故f(m)的最大值为
4
| ||
3 |
10
| ||
9 |
点评:本题可怜虫直线与椭圆相交问题转化为直线与椭圆的方程联立可得△>0及其根与系数关系、两点间的距离公式、反比例函数的单调性等基础知识与基本技能方法,属于难题.
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